معرفی توزیع‌های احتمال و استفاده از آن‌ها در تحلیل آماری

در این مقاله با معرفی توزیع‌های احتمال و استفاده از آن‌ها در تحلیل آماری با شما هستیم.

توزیع احتمال یک مفهوم مهم در آمار و احتمالات است که به دست آوردن توزیع احتمالات مختلف برای متغیرهای مختلف در یک پژوهش کمک می کند.

توزیع احتمال می تواند به شکل دسته ای یا پیوسته باشد و هر یک از آنها می توانند به عنوان یک توزیع احتمالاتی در نظر گرفته شوند. توزیع احتمالات دسته ای، تابعی است که به هر مقدار ممکن برای یک متغیر دسته‌ای یک احتمال نسبت می دهد. مثالی از توزیع احتمال دسته ای، توزیع برنولی است که برای ریسک کردن یا عدم ریسک کردن در یک آزمایش به کار می رود.

توزیع احتمال به زبان ساده

در معرفی توزیع‌های احتمال و استفاده از آن‌ها در تحلیل آماری، تابعی است که به هر مقدار پیوسته ای از یک متغیر پیوسته، احتمال نسبت می دهد.

مثالی از توزیع احتمال پیوسته، توزیع نرمال یا گاوسی است که برای توصیف توزیع احتمالاتی برخی از ویژگی های مختلف مانند قد، وزن و غیره استفاده می شود.

استفاده از توزیع احتمالات در تحلیل آماری فرایندی است که به کمک آن می توان احتمالات مختلف را برای متغیرهای مختلف تعیین کرد و سپس از آنها برای تحلیل داده ها و بررسی فرضیات استفاده کرد.

برای مثال، با استفاده از توزیع احتمال می توان به دست آورد که چقدر احتمال دارد یک نمونه از یک جامعه تصادفی، به یک خصوصیت خاصی مانند قد یا وزن نزدیک باشد.

با توجه به اینکه توزیع احتمالات یکی از ابزارهای اصلی تحلیل آماری است، یادگیری درباره توزیع های احتمالاتی و استفاده از آنها در تحلیل داده ها، بسیار مهم است.

توزیع احتمالاتی برای متغیرهای پیوسته و دسته‌ای

توزیع احتمالاتی برای متغیرهای پیوسته و دسته‌ای متفاوت است.

در توزیع احتمال دسته‌ای، متغیرها به شکل دسته‌های مجزا تعریف می‌شوند؛ به عنوان مثال، متغیرهایی که فقط مقدار ۰ و ۱ را می‌توانند داشته باشند، مثل توزیع برنولی یا دو جمله‌ای. در این حالت، توزیع احتمالاتی به شکل جدول احتمالات نشان داده می‌شود که برای هر مقدار دسته‌ای احتمال آن مقدار محاسبه می‌شود.

اما در توزیع احتمالات پیوسته، متغیرها به شکل پیوسته تعریف می‌شوند؛ به عنوان مثال، وزن یا قد یک فرد. در این حالت، توزیع احتمال به شکل یک تابع چگالی احتمال نشان داده می‌شود که برای هر مقدار پیوسته احتمال آن مقدار محاسبه می‌شود.

بنابراین، توزیع احتمالات برای متغیرهای پیوسته و دسته‌ای متفاوت است و برای هر یک از این دو نوع متغیر، یک سری توزیع احتمالاتی متفاوت وجود دارد که برای محاسبه احتمالات مختلف و تحلیل داده‌ها استفاده می‌شود.

توزیع احتمالاتی پیوسته و دسته‌ای در مدل‌سازی داده‌ها

در معرفی توزیع‌های احتمال و استفاده از آن‌ها در تحلیل آماری باید دید کاربرد آن در مدل سازی داده‌ها چگونه است.

توزیع احتمالاتی پیوسته و دسته‌ای در مدل‌سازی داده‌ها متفاوت است و بسته به نوع داده‌ها و فرضیات مدل، از یکی از این دو نوع توزیع احتمالاتی استفاده می‌شود. در مدل‌سازی داده‌های دسته‌ای، از توزیع‌های احتمالاتی دسته‌ای مانند توزیع برنولی، دوجمله‌ای، چندجمله‌ای و... استفاده می‌شود.

در این حالت، داده‌ها به شکل دسته‌های مجزا مدل‌سازی می‌شوند و برای هر دسته‌ی ممکن، یک احتمال مشخص محاسبه می‌شود. در مدل‌سازی داده‌های پیوسته، از توزیع‌های احتمالاتی پیوسته مانند توزیع نرمال، توزیع توانی، توزیع گاما و... استفاده می‌شود.

در این حالت، داده‌ها به شکل پیوسته مدل‌سازی می‌شوند و برای هر مقدار پیوسته‌ای، یک احتمال مشخص محاسبه می‌شود. در مدل‌سازی داده‌های پیوسته، توزیع احتمالاتی پیوسته به دلیل قابلیت مدل کردن داده‌های پیوسته با دقت بیشتر، بیشتر مورد استفاده قرار می‌گیرد. اما در مدل‌سازی داده‌های دسته‌ای، توزیع احتمالات دسته‌ای به دلیل سادگی و قابلیت تفسیر بالا، بیشتر مورد استفاده قرار می‌گیرد.

آیا توزیع احتمالاتی پیوسته همیشه دقیق‌تر از توزیع دسته‌ای است؟

نه، توزیع احتمالاتی پیوسته همیشه دقیق‌تر از توزیع دسته‌ای نیست.

در معرفی توزیع‌های احتمال و استفاده از آن‌ها در تحلیل آماری باید دانست که این روش همیشه قابل اعتماد نیست. بسته به نوع داده‌ها و فرضیات مدل، ممکن است توزیع احتمالات دسته‌ای دقیق‌تر باشد. در برخی موارد، داده‌های ما به شکل دسته‌ای بوده و استفاده از توزیع احتمال دسته‌ای دقیق‌تر از توزیع احتمال پیوسته است.

به عنوان مثال، در مدل‌سازی تعداد بازدیدکنندگان یک وب‌سایت در یک روز، توزیع پوآسون که یک توزیع احتمال دسته‌ای است، بهتر از توزیع نرمال که یک توزیع احتمال پیوسته است، مدل‌سازی می‌شود.

همچنین، در برخی موارد، توزیع احتمالات پیوسته به دلیل پیچیدگی بیشتر خود، نمی‌تواند به خوبی داده‌ها را توصیف کند.

به عنوان مثال، در مدل‌سازی یک پروسه صنعتی که مقدار دمای آن به صورت پیوسته در طول زمان تغییر می‌کند، توزیع احتمالات پیوسته برای دما به دلیل پیچیدگی بیشتر، نمی‌تواند به خوبی داده‌های ما را توصیف کند و بهتر است از توزیع احتمال دسته‌ای استفاده کرد.

بنابراین، برای انتخاب توزیع احتمالاتی مناسب در مدل‌سازی داده‌ها، باید به نوع داده‌ها و فرضیات مدل توجه کرد و توزیع احتمالاتی مناسب را برای مدل‌سازی انتخاب کرد.

مثالی از توزیع احتمال دسته‌ای برای مدل‌سازی داده‌ها

مثال دیگری از توزیع احتمال دسته‌ای برای مدل‌سازی داده‌ها، توزیع گسسته یا توزیع پوآسون است.

این توزیع احتمال دسته‌ای برای مدل کردن تعداد رخدادهای خاص در یک بازه‌ی زمانی استفاده می‌شود. برای مثال، یک شرکت برای پیش‌بینی تعداد تماس‌هایی که در یک مرکز تماس با مشتری دریافت می‌کند، می‌تواند از توزیع پوآسون استفاده کند. در این حالت، تعداد تماس‌هایی که در یک بازه‌ی زمانی مشخص دریافت می‌شود، به عنوان یک متغیر تصادفی با توزیع پوآسون مدل می‌شود.

توزیع پوآسون به دلیل سادگی و قابلیت تفسیر بالا، برای مدل‌سازی تعداد رخدادهای نادر و بسیاری کاربرد دارد. این توزیع برای مدل کردن تعداد مشاهده‌های یک رویداد نادر مانند تصادفات، بیماری‌های خاص، یا تعداد درخواست‌های خطای شبکه نیز استفاده می‌شود.

توزیع پوآسون برای مدل‌سازی داده‌های پیوسته مناسب است؟

در معرفی توزیع‌های احتمال و استفاده از آن‌ها در تحلیل آماری ، توزیع دیگری که باید با آن آشنا شویم، توزیع پوآسون است.

توزیع پوآسون برای مدل‌سازی داده‌های پیوسته مناسب نیست؛ چرا که توزیع پوآسون فقط برای مدل کردن تعداد رخدادهای گسسته مناسب است و برای داده‌های پیوسته مناسب نیست.

توزیع پوآسون به طور کلی برای مدل کردن تعداد رخدادهای گسسته مانند تعداد خطاهای یک سیستم، تعداد تصادفات رانندگی، تعداد افرادی که در یک ساعت خاص به یک فروشگاه مراجعه می‌کنند و... استفاده می‌شود.

در این حالت، تعداد رخدادها به شکل گسسته تعریف شده و می‌توان از توزیع پوآسون برای مدل کردن توزیع احتمالاتی این تعداد استفاده کرد. اما در داده‌های پیوسته، مانند قد، وزن، دما و...، مقادیر به شکل پیوسته تعریف شده‌اند و توزیع پوآسون برای این نوع داده‌ها مناسب نیست. در این حالت، برای مدل کردن توزیع احتمالاتی داده‌ها از توزیع‌های پیوسته مانند توزیع نرمال، توزیع توانی، توزیع گاما و... استفاده می‌شود.

بنابراین، برای مدل کردن داده‌های پیوسته، باید از توزیع‌های پیوسته مناسب استفاده کرد. در مدل‌سازی داده‌های پیوسته، توزیع‌های پیوسته به دلیل قابلیت مدل کردن داده‌های پیوسته با دقت بیشتر، بیشتر مورد استفاده قرار می‌گیرند.

برای مثال، در مدل‌سازی داده‌های پیوسته مانند قد یا وزن افراد، استفاده از توزیع نرمال برای مدل کردن توزیع این داده‌ها مناسب است. توزیع نرمال به دلیل قابلیت تفسیر بالا و قابلیت استفاده در محاسبات ریاضیاتی پیچیده، برای مدل کردن داده‌های پیوسته بسیار مناسب است. همچنین، توزیع‌های پیوسته دیگری مانند توزیع توانی و توزیع گاما نیز برای مدل‌سازی داده‌های پیوسته مورد استفاده قرار می‌گیرند.

به عنوان مثال، در مدل‌سازی داده‌های پیوسته مانند زمان و یا درآمد، توزیع گاما می‌تواند برای مدل کردن توزیع این داده‌ها مناسب باشد. از آنجا که داده‌های پیوسته به شکل پیوسته تعریف شده‌اند، توزیع‌های پیوسته مانند توزیع نرمال، پیوسته بوده و توزیع احتمال برای هر مقدار پیوسته‌ای محاسبه می‌شود.

به عنوان مثال، توزیع نرمال به شکل یک منحنی پیوسته تعریف شده و می‌توان احتمال وقوع هر مقدار پیوسته را برای این توزیع محاسبه کرد.

بنابراین، برای انتخاب توزیع احتمال مناسب برای مدل‌سازی داده‌ها، باید به نوع داده‌ها و فرضیات مدل توجه کرد و توزیع احتمال مناسب را برای مدل‌سازی انتخاب کرد.

سخن آخر

در این مقاله درباره معرفی توزیع‌های احتمال و استفاده از آن‌ها در تحلیل آماری صحبت شد. برای اطلاعات بیشتر می‌توانید به مقالات اس دیتا کراجعه نمایید.

• توزیع های احتمال